Had (Kalkulus 1)

 Diberi fungsi berikut:

\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\]

Katakanlah kita nak cari apakah nilai \(f(x)\) apabila \(x=1\).

\[f(1)=\frac{(1)^2-(1)}{(1)-1}=\frac 00\]

Aik? Mana boleh bahagi dengan \(0\).. Habis tu macam mana? Haa, ada cara ahli matematik cuba selesaikan benda ni, iaitu dengan menggunakan had atau nama lainnya limits.

Had ni apa? Contohnya masalah tadi, kita nampak, \(x \ne 1\). Apa yang kita boleh buat? Kita menghampirkan nilai \(x\) kepada \(1\). Nilai \(x\) tak boleh \(1\), tapi dia boleh mendekati \(1\).

Sebagai contoh, kita jadikan \(x=0.999\), kita tengok apa jadi kat nilai \(f(x)\).

\[f(0.999)=\frac{(0.999)^2-1}{(0.999)-1}=1.999\]

Wah, kita nampak nilai \(f(x)\) semakin hampir dengan \(2\). So kita nampak cara ini memudahkan ahli matematik dapatkan nilai-nilai yang sebaliknya sukar didapati.

Maka, cara penulisan yang dikhaskan para ahli matematik untuk perkara ini:

\[\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\]

TETAPI, adalah sangat penting untuk kita semak dari "dua-dua belah". Apa maksudnya?

Tadi, kita semak menggunakan \(x=0.999\), iaitu dari arah kiri (sebab \(0.999\) duduk di sebelah kiri dari \(1\)) jadi, kita semak pula \(x=1.001\).

\[f(1.001)=\frac{(1.001)^2-1}{(0.001)-1}=2.001\]

Yay! kita dah berjaya benar-benar membuktikan hadnya adalah \(2\) kerana had dari kiri sama dengan had dari kanan. 

Dan teori kita dibuktikan dengan graf ini. Nampak tak, ketika \(x=1\) graf tersebut seolah-olah 'berlubang'. 

Dalam erti kata lain:

\[\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^+}f(x)\]

Simbol tolak dan tambah kecil di atas satu tu merujuk kepada penghampiran dari mana, kanan atau kiri. Tambah untuk penghampiran kanan, tolak untuk penghampiran kiri.

Jika pernyataan di atas benar, barulah kita boleh isytiharkan bahawa hadnya wujud.

Apa pula jadi sekiranya keadaan tersebut tak dapat dipenuhi (pernyataan itu tak benar)? Maka persamaan tersebut dikatakan tidak mempunyai had di koordinat x itu.

Jom tengok contoh lain,

\[f(x)=\frac 1{x-2}\]

Apa pula nilai \(f(x)\) apabila \(x=2\)?

\[f(2)=\frac 1{(2)-2}=\frac 10\]

Sekali lagi, kita menghadap masalah yang sama. Tapi kita dah tahu kita boleh guna had, so jom kita anggarkan x menghampiri 2 dari kiri, \(x=1.999\).

\[f(1.999)=\frac 1{(1.999)-2}=-1000\]

Eh jauh nya pergi. Bila ada nombor besar-besar ni, kebiasaannya mewakili infiniti. So perwakilannya adalah:

\[\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty\]

Hm, takpe. kita cuba dari kanan pula, \(x=2.001\).

\[f(2.001)=\frac 1{(2.001)-2}=1000\]

Dan perwakilannya:

\[\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty\]

Aik, lain macam. Satu positif satu negatif. Ha, bila ni terjadi, maksudnya had tidaklah wujud bagi \(x\to 2\)

\[\lim_{x\to 2}f(x) \ \ \ \text{tidak wujud}\]

Dan seperti dijangka, grafnya langsung tidak bertemu, menghasilkan asimptot iaitu sebuah garis yang tidak pernah/akan disentuh graf (garis putus-putus itu asimptot).

Apabila grafnya tidak bertemu atau nama lainnya tidak 'berterusan', maka had fungsi itu tidak wujud.